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Elementos de la circunferencia: El círculo es la región interior de una circunferencia. Elementos de la circunferencia y el círculo Área de un círculo Los elementos del círculo son los siguientes: 1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. 2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. 3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio. 4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia. 5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros. 6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos. 7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.


               conceptos de circulo y circunferencia

Si me pides una definición más técnica o formal, ésta iría por el lado de definirla como un lugar geométrico, vale decir: una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano, que equidistan de otro punto del mismo plano definido como centro.

En otra palabras: señalo un punto del plano al que determino como centro y todos aquellos puntos del mismo plano que estén a la misma distancia de ese centro, pertenecen (y a la vez conforman) a la circunferencia en cuestión.

Pero lo cierto es que en los primeros años escolares, los docentes tratamos de aportar definiciones más sencillas e intuitivas, que no se aparten del concepto correcto. De este modo, es frecuente que definamos a una circunferencia de un modo más simple, como podría ser: “Una circunferencia es una línea curva cerrada y plana, cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto del mismo plano, llamado centro.”

Los elementos más importantes en una circunferencia, y sus respectivas definiciones, son los siguientes:

Centro: es el punto medio de una circunferencia, al cual todos sus puntos equidistan

Radio: es un segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia

Diámetro: es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia, pasando por el centro

Semicircunferencia: es cada una de las dos mitades en que queda dividida una circunferencia, cuando ésta es dividida por un diámetro.
Arco: es una porción de circunferencia, comprendida entre dos de sus puntos (que no sean el centro)

Cuerda: es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia SIN pasar por el centro de la misma.

Llamamos círculo a la superficie del plano que se encuentra contenida dentro de una circunferencia. Comparte -por cierto- algunos de los elementos básicos antes nombrados con la circunferencia, tal es el caso del centro, el diámetro y el radio. Las tres cosas se definen de la misma manera para un círculo y en la imagen de portada podemos visualizar mejor cada concepto.

No podemos decir lo mismo de la semicircunferencia (que hemos definido antes),no obstante lo cual, existe un concepto análogo en el círculo, que es el semicírculo.

Semicírculo: se llama semicírculo a cada una de las dos mitades en que queda dividido un círculo, al trazar un diámetro.

            segmentos y rectas de la circunferencia

·      Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

·      Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

·      Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y  que necesariamente pasa por el centro.

·      Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).

·      Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

·     Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarse en dos puntos o no intersecarse.

·           Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia; una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.

·           Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

·           Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

·            Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

·            Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

·            Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

·            Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

·            Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

              perímetro  de una circunferencia

  El perímetro de un circulo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r

Área de un círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano a una distancia dada (llamado el radio ) desde un punto dado (llamado el centro.)

Un segmento de la recta que conecta dos puntos en el círculo y pasa a través del centro es llamado un diámetro del círculo.

Claramente, si d Representa la Longitud de la ONU Diámetro y r Representa la Longitud de Radio de la ONU, ENTONCES d = 2 r .

La circunferencia C de un círculo es la distancia alrededor del exterior. PARA CUALQUIER círculo, this Longitud this Relacionada con el de radio r por la Ecuación

C = 2π r

donde π (pronunciada como " pi ") es una constante irracional aproximadamente igual a 3.14.

El área de un círculo esta dada por la fórmula

A = π r 2 .

                  secciones de un circulo

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

	Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

El área de un sector Puedes calcular el área de un sector comparando su ángulo con el ángulo de un círculo completo. Nota: aquí estoy escribiendo los ángulos en radianes.

areas de regiones sombreeadas de un circulo

El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadrilateros, triángulos, círculos y polígonos en general.

A veces debemos determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón , acrílico, madera, entre otros).

En esta unidad se presentan algunas regiones no convencionales para el cálculo de su área. Igualmente se suministran las ayudas necesarias en caso de no conocerse el procedimiento adecuado para dicho cálculo.

Algunas áreas a calcular se muestran a continuación:

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Propiedades de los polígonos:

 Un polígonao es un figura plana compuesta por un número finito de segmentos rectos, llamados lados del polígono, que encierran una región del plano. Cuando los segmentos son rectos, decimos que el polígono regular. Los ángulos que forman dos lados consecutivos del polígono se denomina ángulos interiores del polígono

POLÍGONOS

Elementos y clasificación 

Un polígono es una figura geométrica plana limitada al menos por tres segmentos rectos consecutivos no alineados llamados lados.

Por ejemplo, un pentágono es un polígono de  lados. Se trata de un ejemplo de un polígono de los que llamaremos regulares.

• Un polígono se llama regular si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
• Un polígono es irregular si incumple alguna de las dos condiciones del apartado anterior.

Estos son los elementos de un polígono:

• Lado: uno de los segmentos antes nombrados que delimita la superficie del polígono.
• Vértice: punto donde se unen dos segmentos de los que conforman el polígono.
• Diagonal: segmento que une dos vértices no adyacentes.
• Ángulo: apertura de los dos segmentos adyacentes que concurren en un vértice.

Para poder identificar fácilmente los elementos de un polígono existe una notación muy sencilla que nos facilita saber de que elemento estamos hablando en cada momento. Así podremos diferenciar los lados, vértices o cualquier otro elemento entre si.

Nombre	Número de lados
No existe	1
No existe	2
Triángulo	3
Cuadrado	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octógono	8
Eneágono	9
Decágono	10

ÁNGULO CENTRALEs el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono:Ángulo central = 360° : n Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

ÁNGULOS INTERIOR

Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados contiguos y que esos ángulos quedan dentro del polígono. Los ángulos suplementarios que quedarían fuera del polígono en cada vértice, formados por un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente se llaman ángulos exteriores.

En todos los polígonos convexos, la suma (θ) de los ángulos interiores (α) viene determinada por el número de lados (N) que tiene éste.

ANGULO EXTERNO

Un ángulo externo es aquel que es formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. Éste se encuentra en la parte exterior del polígono.

En todo vértice de un polígono siempre hay dos ángulos externos que son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.

β = βꞋ

Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono 

En un triángulo existen dos tipos de ángulos: los ángulos interiores lo forman dos lados y los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.

Sus propiedades son:

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C = 180º

2.  El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = B + C

3.   Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

α = 180º – A

DIAGONALES 

Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos

 

Número de diagonales de un polígono
               PERIMETRO Y AREA El perímetro de un polígono regular es la suma de todos sus lados. Como todo polígono regular tiene todos sus lados iguales, el perímetro será el producto del número de lados del polígono (N) por la longitud de uno de ellos (L). Perímetro = N x L, siendo N el número de lados y L un lado. El apotema de un polígono regular es un segmento dibujado del centro del polígono (esto es, el centro del círculo que circunscribe el polígono) hacia un lado, tal que este es perpendicular al lado. El área de un polígono regular se calcula a partir de su perímetro y su apotema. Sea P el polígono regular con N lados, su área es:   A continuación se presenta un polígono regular, donde el menor número de lados es 4. El deslizador lados sirve para crear un polígono regular de n lados, si lo mueve a la derecha, el polígono irá aumentando el número de lados, y si lo mueve a la izquierda, el número de lados será menor. El deslizar a mueve al punto B de forma vertical, sobre el eje de Y, por lo que, el valor de X es constante y el valor de Y depende del deslizar a. Arriba del polígono regular está la distancia del punto A hasta el punto B, el perímetro, y el área del polígono regular. Como el polígono es regular, cada uno de sus lados tiene la misma longitud, es decir, la distancia de un punto a otro consecutivo es la misma. Intenta mover ambos deslizadores, y analiza lo que ocurre.

POLIEDROS

• En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos:
• Caras: son los polígonos que forman el poliedro.
• Aristas: son los segmentos donde hacen intersección las caras.
• Vértices: son los puntos donde hacen intersección las aristas.
• Además podemos citar los ángulos diedros delimitados por dos caras que se cortan.

Clasificación de los poliedros

                                     volúmenes 

El Volumen de los poliedros se obtiene, de forma general, multiplicando el Área de la Base por la Altura.

V = Ab . h

Para calcular el Volumen (medidas de volumen), es necesario que todas las medidas lineales y de superficie estén en la misma unidad.
Dependiendo del tipo de Poliedros, el Volumen también se puede calcular mediante las fórmulas que veremos a continuación.

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Ángulos y triángulos:
ÁNGULOS: Los ángulos son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe basar a saber el concepto de ángulo trigonométrico. TRIÁNGULOS: Los triángulos se clasifican normalmente según el tipo de los ángulos que tiene según sus lados Los tipos de triángulos son: -triángulo equilátero -triángulo isósceles -triángulo escaleno -triángulo rectángulos

                                                 Sistemas de medición


Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia en un plano. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º

Clasificación de ángulos según su medida:

Un ángulo es la abertura formada por dos rayos que parten de un punto común llamado vértice.

Clasificación de ángulos según su medida

Los ángulos se miden en grados (°) y según su medida se clasifican en:

1) Ángulo agudo: es aquel que mide más de 0° y menos de 90°.

2) Ángulo recto: es aquel que mide 90°.

3) Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° y menos de 180°.

4) Ángulo extendido: es aquel que mide 180°.

5) Ángulo completo: es aquel que mide 360°.

Rectas paralelas cortadas por una transversal 

Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.

Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.

Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.

Ángulos adyacentes:son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

TRIÁNGULOS 


Clasificación y propiedades de los triángulos

Clasificación de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

Por sus lados Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60°

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto (90°)gulo interior recto . A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°)

los otros dos son agudos (menor de 90°).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo

Normalmente se llama triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.


Rectas y puntos notables de un triángulo.



Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determina cierto punto notable: circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro, respectivamente

                                                    Semejanza y congruencia

SEMEJANZA:


Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del o los contenidos no cambia, pero si el tamaño.



CONGRUENCIA: 

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de 
traslaciones, 
rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la 
misma forma y tamaño, aunque su posición u 
orientación sean distintas. Las partes coincidentes 

de las figuras congruentes se llaman homólogas  o correspondientes

Teorema de tales

Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.



Teorema de pitágoras

  El teorema de Pitágoras Establece que en todo triangulo rectángulo , el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática

Si en un triángulo rectángulo hay catetos  de longitud  y la medida de la hipotenusa  entonces se cumple la siguiente relación:

De esta ecuación se deducen tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica