bloque 4

Karla Betsabe Covarrubias Gamboa

BLOQUE 4.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Dado un ángulo agudo cualquiera αpodemos construir un triángulo rectángulo De modo que uno de sus ángulos agudos sea α

Cualquier otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual a α tiene la particularidad de que tener dos ángulos coincidentes con T , α y el ángulo recto.

Recordemos además que dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes. Por consiguiente, cualesquiera triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual a αserán semejantes entre sí.

Todo ello nos permite definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo α como relaciones de proporcionalidad de un triángulo rectángulo cualquiera que tenga a α como uno de sus ángulos.

Seno, Coseno y Tangente

                                                 

                                              

El concepto de razón trigonométrica de un ángulo agudo se puede obtener como una consecuencia inmediata del concepto de proporcionalidad y de los resultados que de él se derivan como es la Semejanza de Triángulos. En particular, la razón de semejanza entre dos triángulos nos permite definir, partiendo de dos triángulos rectángulos en posición de Thales como los de la figura adjunta, Seno , Coseno y Tangente del ángulo agudo como los cocientes que se derivan de las relaciones de proporcionalidad siguientes:

(RJ.1)

Teniendo en cuenta que la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es el lado más grade, concluimos inmediatamente:

Si α es un ángulo agudo:

•             0 ≤ Sen(α) ≤ 1

•             0 ≤ Cos(α) ≤ 1

(RJ.1a)

Observando los triángulos rectángulos y, aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene inmediatamente la relación fundamental de la trigonometría:

(RJ.2)

Es evidente a la vista de las definiciones que la Tangente de un ángulo agudo se puede definir como el cociente entre el Seno y el Coseno del ángulo:

(RJ.3)

Por otro lado, una relación muy interesante entre el Coseno y la Tangente es la siguiente:

(RJ.4)

que se deduce fácilmente sin más que observar:

Valores de las Razones TRIGONOMÉTRICAS para ángulos notables de 30,45,60

Razones Trigonométricas de 30º, 45º y 60º

                                                 

                                              

Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, no son valores fáciles de calcular. Durante muchos años, los estudiantes usaron libros de "Tablas Trigonométricas" para hacerlo.

Para algunos valores de ángulo específicos, la obtención de los valores del Seno, Coseno y Tangente es una aplicación inmediata del Teorema de Pitágoras:

Sobre una circunferencia dibujamos como ángulo central:

1.            α = 45º . En este caso el triángulo rectángulo que determina es isósceles y ambos catetos son iguales. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.

2.            α = 60º . En este caso es fácil observa que el triángulo rectángulo que determina tiene la particularidad de que el cateto adyacente al ángulo es la mitad del radio de la circunferencia. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.

3.            α = 30º . Mirando con detalle el caso de α = 60º vemos que el triángulo rectángulo tienen un ángulo de 60º y otro de 30º, en consecuencia, también podremos calcular las razones trigonométricas de 30º.

Solución de triángulos rectángulos.

1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:

    

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m

2 Se conocen los dos catetos:

    

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: