BLOQUE 5

Litzi Magalli Chaltell Cholula.

Funciones Trigonométricas.

Funciones Trigonométricas en el plano cartesiano.

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano de ángulos agudos

Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo.

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

Estas relaciones dependen del ángulo θ y no del tamaño del triángulo. Si dos triángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales.

funciones trigonométricas en el plano cartesiano 2

Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.

Por ejemplo sen θ indica la relación b/c respecto a θ.

Si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo entonces:

Sen θ = b/c

Cos θ = a/c

Tan θ = b/a

Cot θ = a/b

Sec θ = c/a

Csc θ = c/b

El dominio de cada una de las funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos.

Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa.

Es decir:

Sen θ = c. opuesto/hipotenusa

Cos θ = c. adyacente/hipotenusa

Tan θ = c. opuesto/c. adyacente

Cot θ = c. adyacente/c. opuesto

Sec θ = hipotenusa/c. adyacente

Csc θ = hipotenusa/c. opuesto

Los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ.

Seno y cosecante son recíprocas entre sí.

Coseno y secante son recíprocas entre sí.

Tangente y cotangente son recíprocas entre sí.

Sen θ = 1/csc

Cos θ = 1/sec

Tan θ = 1/cot

Cot θ = 1/tan

Sec θ = 1/cos

Csc θ = 1/sen.

Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.

 

GRAFICAS.

 

Circulo Unitario.

 

Identidades Trigonométricas.

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para el valor de las variables involucradas.

Algunas de las más utilizadas son las identidades trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras , como las siguientes:

 

Hay también las identidades recíprocas :

 

Las identidades cocientes :

 

Las identidades de co-función :

 

Las identidades pares-impares :

 

Las fórmulas de suma y diferencia de Bhaskara Acharya :

 

Las fórmulas de ángulo doble :

(Estos son solo los casos especiales de las fórmulas Bhaskara Acharya, cuando u = v )

 

 

 (de nuevo, un caso especial de Bhaskara)

 

Las fórmulas suma al producto :

 

Y las fórmulas producto a la suma :

 

RECIPROCAS

Las razones trigonométricas recíprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

             Cosecante (csc): es la razón recíproca del seno. Es decir, csc α • sen α=1.

             Secante (sec): la razón recíproca del coseno. Es decir, sec α • cos α=1

             Cotangente (cot): es la razón recíproca de la tangente. También en este caso, cot α • tan α=1

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

 Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):

 Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):

 Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):

 

 

             Cosecante del ángulo complementario:

             Secante del ángulo complementario:

             Cotangente del ángulo complementario:

 

PITAGORAS.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   y  , y la medida de la hipotenusa es  , se formula que:

(1)

De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

 

Angulo Doble.

Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

             Seno del ángulo doble:

 

             Coseno del ángulo doble:

 

             Tangente del ángulo doble:

 

Las razones trigonométricas del ángulo doble se deducen fácilmente de las razones trigonométricas del ángulo suma. Solo hay que sustituir β por α.

Sea la fórmula del seno del ángulo suma:

Con la transformación β = α, tendremos el seno del ángulo doble.

De la fórmula del coseno del ángulo suma se puede obtener el del ángulo doble.

Se aplica la transformación β = α y obtenemos la fórmula:

Sea la fórmula de la tangente del ángulo suma:

Con la transformación β = α, se obtiene la tangente del ángulo doble.