BLOQUE 6

LEY DE COSENOS

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos  no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces  .



Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes  dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.




LEY DE COSENOS 

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triangulo  oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de senos  porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or

 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .

  

    

  Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

    




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      SOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                 








Cuando se tienen casos en los que el triangulo no es rectángulo, se recurre muy frecuentemente a las leyes conocidas como: leyes de senos y cosenos. A continuación se muestran los conceptos y algunos ejemplos prácticos con su procedimiento. Todos los triángulos constan de seis elementos primarios que son tres ángulos y tres lados. Resolver un triángulo significa encontrar algunos o todos los elementos del triángulo a partir de tres de ellos conocidos, siempre y cuando esos tres no sean los tres ángulos. Esto significa que los tres elementos conocidos pueden ser - los tres lados, - dos lados y un ángulo, - un lado y dos ángulos. Dependiendo de los datos se puede usar alguna de estas leyes. LEY DE LOS SENOS La ley de los senos es aplicable a cualquier triángulo si dentro de los tres elementos conocidos se tiene “el par” un lado y su ángulo opuesto conocidos, pudiendo ser el tercer elemento conocido otro lado o bien otro ángulo.




Al aplicar esta ley solamente se toma un signo igual y la fracción que se escribe en el lado izquierdo debe ser la del lado conocido entre el seno de su ángulo opuesto conocido, que en los ejemplos siguientes se les llamará "par conocido", y en el lado