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Karla Betsabe Covarrubias Gamboa

BLOQUE 4.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Dado un ángulo agudo cualquiera αpodemos construir un triángulo rectángulo De modo que uno de sus ángulos agudos sea α

Cualquier otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual a α tiene la particularidad de que tener dos ángulos coincidentes con T , α y el ángulo recto.

Recordemos además que dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes. Por consiguiente, cualesquiera triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual a αserán semejantes entre sí.

Todo ello nos permite definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo α como relaciones de proporcionalidad de un triángulo rectángulo cualquiera que tenga a α como uno de sus ángulos.

Seno, Coseno y Tangente

                                                 

                                              

El concepto de razón trigonométrica de un ángulo agudo se puede obtener como una consecuencia inmediata del concepto de proporcionalidad y de los resultados que de él se derivan como es la Semejanza de Triángulos. En particular, la razón de semejanza entre dos triángulos nos permite definir, partiendo de dos triángulos rectángulos en posición de Thales como los de la figura adjunta, Seno , Coseno y Tangente del ángulo agudo como los cocientes que se derivan de las relaciones de proporcionalidad siguientes:

(RJ.1)

Teniendo en cuenta que la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es el lado más grade, concluimos inmediatamente:

Si α es un ángulo agudo:

•             0 ≤ Sen(α) ≤ 1

•             0 ≤ Cos(α) ≤ 1

(RJ.1a)

Observando los triángulos rectángulos y, aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene inmediatamente la relación fundamental de la trigonometría:

(RJ.2)

Es evidente a la vista de las definiciones que la Tangente de un ángulo agudo se puede definir como el cociente entre el Seno y el Coseno del ángulo:

(RJ.3)

Por otro lado, una relación muy interesante entre el Coseno y la Tangente es la siguiente:

(RJ.4)

que se deduce fácilmente sin más que observar:

Valores de las Razones TRIGONOMÉTRICAS para ángulos notables de 30,45,60

Razones Trigonométricas de 30º, 45º y 60º

                                                 

                                              

Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, no son valores fáciles de calcular. Durante muchos años, los estudiantes usaron libros de "Tablas Trigonométricas" para hacerlo.

Para algunos valores de ángulo específicos, la obtención de los valores del Seno, Coseno y Tangente es una aplicación inmediata del Teorema de Pitágoras:

Sobre una circunferencia dibujamos como ángulo central:

1.            α = 45º . En este caso el triángulo rectángulo que determina es isósceles y ambos catetos son iguales. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.

2.            α = 60º . En este caso es fácil observa que el triángulo rectángulo que determina tiene la particularidad de que el cateto adyacente al ángulo es la mitad del radio de la circunferencia. Aplicamos Pitágoras y obtenemos fácilmente la medida de los lados y, por tanto, podremos obtener los valores del seno, coseno y tangente.

3.            α = 30º . Mirando con detalle el caso de α = 60º vemos que el triángulo rectángulo tienen un ángulo de 60º y otro de 30º, en consecuencia, también podremos calcular las razones trigonométricas de 30º.

Solución de triángulos rectángulos.

1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:

    

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m

2 Se conocen los dos catetos:

    

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:

    

DISEÑO DEL BLOG

Alfredo Bonilla Perez
Jesús Rodríguez Bravo
Daniel Hernandez Montero
Karla Betsabe Covarrubias Gamboa
Litzi Magalli Chaltell Cholula

BLOQUE 6

LEY DE COSENOS

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos  no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces  .



Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes  dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.




LEY DE COSENOS 

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triangulo  oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de senos  porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or

 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .

  

    

  Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

    




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      SOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                 








Cuando se tienen casos en los que el triangulo no es rectángulo, se recurre muy frecuentemente a las leyes conocidas como: leyes de senos y cosenos. A continuación se muestran los conceptos y algunos ejemplos prácticos con su procedimiento. Todos los triángulos constan de seis elementos primarios que son tres ángulos y tres lados. Resolver un triángulo significa encontrar algunos o todos los elementos del triángulo a partir de tres de ellos conocidos, siempre y cuando esos tres no sean los tres ángulos. Esto significa que los tres elementos conocidos pueden ser - los tres lados, - dos lados y un ángulo, - un lado y dos ángulos. Dependiendo de los datos se puede usar alguna de estas leyes. LEY DE LOS SENOS La ley de los senos es aplicable a cualquier triángulo si dentro de los tres elementos conocidos se tiene “el par” un lado y su ángulo opuesto conocidos, pudiendo ser el tercer elemento conocido otro lado o bien otro ángulo.




Al aplicar esta ley solamente se toma un signo igual y la fracción que se escribe en el lado izquierdo debe ser la del lado conocido entre el seno de su ángulo opuesto conocido, que en los ejemplos siguientes se les llamará "par conocido", y en el lado 

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Litzi Magalli Chaltell Cholula.

Funciones Trigonométricas.

Funciones Trigonométricas en el plano cartesiano.

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano de ángulos agudos

Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo.

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

Estas relaciones dependen del ángulo θ y no del tamaño del triángulo. Si dos triángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales.

funciones trigonométricas en el plano cartesiano 2

Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.

Por ejemplo sen θ indica la relación b/c respecto a θ.

Si θ es el ángulo agudo del triángulo rectángulo entonces:

Sen θ = b/c

Cos θ = a/c

Tan θ = b/a

Cot θ = a/b

Sec θ = c/a

Csc θ = c/b

El dominio de cada una de las funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos.

Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa.

Es decir:

Sen θ = c. opuesto/hipotenusa

Cos θ = c. adyacente/hipotenusa

Tan θ = c. opuesto/c. adyacente

Cot θ = c. adyacente/c. opuesto

Sec θ = hipotenusa/c. adyacente

Csc θ = hipotenusa/c. opuesto

Los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo θ.

Seno y cosecante son recíprocas entre sí.

Coseno y secante son recíprocas entre sí.

Tangente y cotangente son recíprocas entre sí.

Sen θ = 1/csc

Cos θ = 1/sec

Tan θ = 1/cot

Cot θ = 1/tan

Sec θ = 1/cos

Csc θ = 1/sen.

Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.

 

GRAFICAS.

 

Circulo Unitario.

 

Identidades Trigonométricas.

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para el valor de las variables involucradas.

Algunas de las más utilizadas son las identidades trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras , como las siguientes:

 

Hay también las identidades recíprocas :

 

Las identidades cocientes :

 

Las identidades de co-función :

 

Las identidades pares-impares :

 

Las fórmulas de suma y diferencia de Bhaskara Acharya :

 

Las fórmulas de ángulo doble :

(Estos son solo los casos especiales de las fórmulas Bhaskara Acharya, cuando u = v )

 

 

 (de nuevo, un caso especial de Bhaskara)

 

Las fórmulas suma al producto :

 

Y las fórmulas producto a la suma :

 

RECIPROCAS

Las razones trigonométricas recíprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

             Cosecante (csc): es la razón recíproca del seno. Es decir, csc α • sen α=1.

             Secante (sec): la razón recíproca del coseno. Es decir, sec α • cos α=1

             Cotangente (cot): es la razón recíproca de la tangente. También en este caso, cot α • tan α=1

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

 Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):

 Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):

 Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):

 

 

             Cosecante del ángulo complementario:

             Secante del ángulo complementario:

             Cotangente del ángulo complementario:

 

PITAGORAS.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   y  , y la medida de la hipotenusa es  , se formula que:

(1)

De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

 

Angulo Doble.

Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

             Seno del ángulo doble:

 

             Coseno del ángulo doble:

 

             Tangente del ángulo doble:

 

Las razones trigonométricas del ángulo doble se deducen fácilmente de las razones trigonométricas del ángulo suma. Solo hay que sustituir β por α.

Sea la fórmula del seno del ángulo suma:

Con la transformación β = α, tendremos el seno del ángulo doble.

De la fórmula del coseno del ángulo suma se puede obtener el del ángulo doble.

Se aplica la transformación β = α y obtenemos la fórmula:

Sea la fórmula de la tangente del ángulo suma:

Con la transformación β = α, se obtiene la tangente del ángulo doble.

BLOQUE 3

Elementos de la circunferencia: El círculo es la región interior de una circunferencia. Elementos de la circunferencia y el círculo Área de un círculo Los elementos del círculo son los siguientes: 1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. 2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. 3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio. 4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia. 5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros. 6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos. 7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.


               conceptos de circulo y circunferencia

Si me pides una definición más técnica o formal, ésta iría por el lado de definirla como un lugar geométrico, vale decir: una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano, que equidistan de otro punto del mismo plano definido como centro.

En otra palabras: señalo un punto del plano al que determino como centro y todos aquellos puntos del mismo plano que estén a la misma distancia de ese centro, pertenecen (y a la vez conforman) a la circunferencia en cuestión.

Pero lo cierto es que en los primeros años escolares, los docentes tratamos de aportar definiciones más sencillas e intuitivas, que no se aparten del concepto correcto. De este modo, es frecuente que definamos a una circunferencia de un modo más simple, como podría ser: “Una circunferencia es una línea curva cerrada y plana, cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto del mismo plano, llamado centro.”

Los elementos más importantes en una circunferencia, y sus respectivas definiciones, son los siguientes:

Centro: es el punto medio de una circunferencia, al cual todos sus puntos equidistan

Radio: es un segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia

Diámetro: es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia, pasando por el centro

Semicircunferencia: es cada una de las dos mitades en que queda dividida una circunferencia, cuando ésta es dividida por un diámetro.
Arco: es una porción de circunferencia, comprendida entre dos de sus puntos (que no sean el centro)

Cuerda: es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia SIN pasar por el centro de la misma.

Llamamos círculo a la superficie del plano que se encuentra contenida dentro de una circunferencia. Comparte -por cierto- algunos de los elementos básicos antes nombrados con la circunferencia, tal es el caso del centro, el diámetro y el radio. Las tres cosas se definen de la misma manera para un círculo y en la imagen de portada podemos visualizar mejor cada concepto.

No podemos decir lo mismo de la semicircunferencia (que hemos definido antes),no obstante lo cual, existe un concepto análogo en el círculo, que es el semicírculo.

Semicírculo: se llama semicírculo a cada una de las dos mitades en que queda dividido un círculo, al trazar un diámetro.

            segmentos y rectas de la circunferencia

·      Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

·      Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

·      Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y  que necesariamente pasa por el centro.

·      Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).

·      Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

·     Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarse en dos puntos o no intersecarse.

·           Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia; una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.

·           Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

·           Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

·            Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

·            Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

·            Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

·            Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

·            Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

              perímetro  de una circunferencia

  El perímetro de un circulo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r

Área de un círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano a una distancia dada (llamado el radio ) desde un punto dado (llamado el centro.)

Un segmento de la recta que conecta dos puntos en el círculo y pasa a través del centro es llamado un diámetro del círculo.

Claramente, si d Representa la Longitud de la ONU Diámetro y r Representa la Longitud de Radio de la ONU, ENTONCES d = 2 r .

La circunferencia C de un círculo es la distancia alrededor del exterior. PARA CUALQUIER círculo, this Longitud this Relacionada con el de radio r por la Ecuación

C = 2π r

donde π (pronunciada como " pi ") es una constante irracional aproximadamente igual a 3.14.

El área de un círculo esta dada por la fórmula

A = π r 2 .

                  secciones de un circulo

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

	Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

El área de un sector Puedes calcular el área de un sector comparando su ángulo con el ángulo de un círculo completo. Nota: aquí estoy escribiendo los ángulos en radianes.

areas de regiones sombreeadas de un circulo

El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadrilateros, triángulos, círculos y polígonos en general.

A veces debemos determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón , acrílico, madera, entre otros).

En esta unidad se presentan algunas regiones no convencionales para el cálculo de su área. Igualmente se suministran las ayudas necesarias en caso de no conocerse el procedimiento adecuado para dicho cálculo.

Algunas áreas a calcular se muestran a continuación: